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\newtheorem{definition}{Definition}[section]%定义
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]%定理
\newtheorem{axiom}{Axiom}[section]%公理
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]%引理
\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]%命题
\newtheorem{corollary}{Corollary}[section]%推论
\newtheorem{remark}{Remark}[section]%注


\title{\heiti\zihao{2} 习题1.3}
\author{20373963-樊若宸}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle
\section{500件产品中有50件次品, 从中任取20件, 求(1):恰好取到10件次品的概率;(2)至少取到两件次品的概率}
(1)\textbf{解1$^{\circ}$:}\quad

设样本空间为
$$
\Omega=\{\text{所有取出的情况(不考虑顺序)}\}
$$

设事件$A$:从中任取20件,恰好取到10件次品.则有:$\mathrm{card}\Omega = C_{500}^{20}$,$\mathrm{card}A=C_{50}^{10}\cdot C_{450}^{10}$.从而
$$
P(A)=\dfrac{\mathrm{card}A}{\mathrm{card}\Omega}=\dfrac{C_{50}^{10}\cdot C_{450}^{10}}{C_{500}^{20}}
$$

\textbf{解2$^{\circ}$:}\quad

样本空间为
$$
\Omega=\{\text{所有取出的情况(考虑顺序)}\}
$$

则:$\mathrm{card}\Omega = A_{500}^{20}$,$\mathrm{card}A=C_{20}^{10}\cdot C_{50}^{10}\cdot C_{450}^{10}$(先选出10个是次品的位置,再进行排列),则有:
$$
P(A)=\dfrac{\mathrm{card}A}{\mathrm{card}\Omega}=\dfrac{C_{20}^{10}\cdot C_{50}^{10}\cdot C_{450}^{10}}{A_{500}^{20}}=\dfrac{C_{50}^{10}\cdot C_{450}^{10}}{C_{500}^{20}}
$$

(2)\textbf{解:}\quad 设样本空间为
$$
\Omega=\{\text{所有取出的情况(不考虑顺序)}\}
$$

显然$\mathrm{card}\Omega=C_{500}^{20}$.设事件$A$为取出20件至少两件是次品,令$\xi$为20件中次品的数量.则$\overline{A}=(\xi=1)\cup (\xi=0)$.所以$\mathrm{card}\overline{A}=C_{50}^{1}\cdot C_{499}^{19}+C_{50}^{0}\cdot C_{450}^{20}$.从而
$$
P(\overline{A})=\dfrac{\mathrm{card}A}{\mathrm{card}\Omega}=\dfrac{C_{50}^{1}\cdot C_{499}^{19}+ C_{450}^{20}}{C_{500}^{20}}
$$

从而
$$
P(A)=1-P(\overline{A})=1-\dfrac{C_{50}^{1}\cdot C_{499}^{19}+ C_{450}^{20}}{C_{500}^{20}}
$$

\section{(1)某校一年级新生共1000人, 设每人的生日是一年中的任何一天的可能性相同, 问:至少有一人的的生日是元旦这一天的概率是多少? (2)某小组学生有五人是同一年出生的, 设没人在一年中任何一个月出生是等可能的, 求: 此5人出生月份各不相同的概率}

(1)\textbf{解:}\quad 设样本空间
$$
\Omega = \{\text{所有可能的生日情况}\}
$$

设事件$A$:至少有一人的的生日是元旦这一天.则$\mathrm{card}\Omega=365^{1000}$,$\mathrm{card}\overline{A}=364^{1000}$

从而
$$
P(A)=1-P(\overline{A})=1-\dfrac{\mathrm{card}\overline{A}}{\mathrm{card}\Omega}=1-\dfrac{364^{1000}}{365^{1000}}
$$

(2)\textbf{解:}\quad 设样本空间:
$$
\Omega=\{\text{所有可能的出生月份组合}\}
$$

设事件$A$:五人出生月份不同.有$\mathrm{card}\Omega=12^5$,$\mathrm{card}A=A_{12}^{5}$,从而
$$
P(A)=\dfrac{\mathrm{card} A}{\mathrm{card}\Omega}=\dfrac{A_{12}^{5}}{12^5}
$$




\end{document}